已知f(x)=2x/(1+x^2)(x∈R),讨论函数f(X)的性质,并作出图麻烦写出具体过程

已知f(x)=2x/(1+x^2)(x∈R),讨论函数f(X)的性质,并作出图麻烦写出具体过程

题目
已知f(x)=2x/(1+x^2)(x∈R),讨论函数f(X)的性质,并作出图麻烦写出具体过程
答案

首先可以判断f(x)为奇函数 因为f(-x)=-2x/(1+x^2)=-f(x),图形关于原点对称

f(0)=0

f’(x)=(2-2x^2)/(1+x^2)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2

f’’(x)=4x(x^2-3)(x^2+1)/ (1+x^2)^4

(可以忽略那些恒大于0的等式,所以下面的我就不写那些了,只写与关键的拐点相关的等式,你写题目的时候不要忘记加上)

令f’(x)=0 解出x1=-1,x2=1 求得函数f(x)斜率为0两点(-1,-1),(1,1)

令f’’(x)=0 解出x3=-根号3,x4=根号3

对于f’(x)

(负无穷,-1)并(1,正无穷)上f’(x)<0 函数f(x)单调递减

(-1,1)上f’(x)>0函数f(x)单调递增

对于f’’(x)

(负无穷,负根号3)并(根号3,正无穷)f’’(x)>0 可知f’(x)为单调递增

(负根号3,根号3) f’’(x)<0 可知f’(x)为单调递减

分段考虑

1先求f(x)在负无穷上的极限 可求得为0

2 (负无穷,负根号3)上f’(x)<0 函数f(x)单调递减 ,f’’(x)>0 可知f’(x)为单调递增

      f(x)单调递减形状为凸 

3 (负根号3,-1)  f’(x)<0 函数f(x)单调递减  f’’(x)<0 可知f’(x)为单调递减 

          f(x)单调递减形状为凹 

4 (-1,0)f’(x)>0函数f(x)单调递增 f’’(x)<0 可知f’(x)为单调递减

            f(x)单调递增形状为凹  

可画出左边图形,再根据奇偶性画右半就可以了

(图形我尽力了,就这个程度了,如果有不懂得可以HI我)

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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