如图,在△ABC内取一点P,使∠PBA=∠PCA,作PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,M为BC中点,N为DE中点,求证：MN⊥DE

题目

如图,在△ABC内取一点P,使∠PBA=∠PCA,作PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,M为BC中点,N为DE中点,求证：MN⊥DE

答案

证明：连DM,EM,
因为PD垂直AB于D,PE垂直AC于E,
所以∠BDP=∠CEP=90,
因为∠PBA=∠PCA
所以180-（∠BDP+∠PBA）=180-(∠CEP+∠PCA)
即∠DPB=∠EPC
所以此二角为对顶角
所以D,P,C在一直线上,B,P,E在同一直线上,
因为M是BC的中点
所以DM=BC/2,EM=BC/2(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
所以DM=EM
因为N是DE的中点
所以MN⊥DE（三线合一）