三次函数f(x)=x3-3bx+3b在[1,2]内恒为正值,求b的取值范围.
题目
三次函数f(x)=x3-3bx+3b在[1,2]内恒为正值,求b的取值范围.
答案
由f(x)>0在[1,2]内恒成立,即3b(x-1)<x
3.
①当x=1时,上式对于b∈R都成立;
②当1<x≤2时,f(x)>0在[1,2]内恒成立⇔
3b<恒成立,x∈(1,2]⇔
3b<[]min,x∈(1,2].
令g(x)=
,x∈(1,2],则
g′(x)=,由g
′(x)=0,解得
x=.
列表如下:
由表格可知:当x=
时,g(x)取得极小值,也即最小值,
g()==
.
∴3b
<,解得
b<.
综上①②可知:b的取值范围是
(−∞,).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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