一个直角三角形两直角边为A.B（B是质数）,斜边为C（m.t.n均为正整数）求证2（b+m+1）是完全平方数

题目

一个直角三角形两直角边为A.B（B是质数）,斜边为C（m.t.n均为正整数）求证2（b+m+1）是完全平方数
打错了 ABC均为正整数

答案

由勾股定理易得a2+b2=c2,则a2=c2-b2=（c+b）（c-b）,因为a为质数,所以c+b=a2,c-b=1,两式相减可得a2=2b+1,代入2（a+b+1）即可得证．∵a,b是Rt△ABC的两条直角边,c是斜边,
∴a2+b2=c2,
即a2=c2-b2=（c+b）（c-b）,
∵a为质数,
∴c+b=a2,c-b=1,
∴a2=2b+1,
∴2（a+b+1）=a2+2a+1=（a+1）2,
∴2（a+b+1）是完全平方数．