数学分析证明

题目

数学分析证明
证明函数项级数在R上存在连续的导函数. 是先正一致收敛么?然后要怎样作?

好像上传不了图片 那就直接打出来吧.数级为∑[无穷,n=1] sin(2^nπx)/3^n

答案

定理：级数(an(x))收敛,级数(an'(x))一致收敛,则和函数s(x)＝级数(an(x))存在连续的导函数.
按照定理,考虑
级数(n＝1到无穷)(sin(2^n*πx)/3^n)'＝级数(n＝1到无穷)cos(2^nπx)π(2/3)^n.
注意到|cos(2^nπx)π(2/3)^n|