若函数f(x)=mx2+2mx+1(m∈R)的图象恒在x轴上方,则m的取值范围

题目

若函数f(x)=mx2+2mx+1(m∈R)的图象恒在x轴上方,则m的取值范围

答案

若函数f(x)=mx2+2mx+1(m∈R)的图象恒在x轴上方
即关于x的不等式mx²+2mx+1>0恒成立,求m的取值范围
（1）当m=0时,已知不等式转化为 1 > 0 ,显然,对于x ∈ R恒成立,符合已知；
（2）当m≠0时,这个不等式含m,且关于x的一元二次函数,
对于x ∈ R不等式要恒成立,
即该一元二次函数f(x)=mx²+2mx+1=0无实根（⊿=b²-4ac＜0）,
且函数图像恒位于x轴上方（即y=f(x)>0恒成立；此时,必须有m>0,抛物线开口向上）,
则等价于：{ m > 0,
{ b²-4ac = (2m)² - 4*m*1 ＜0,解此不等式为：0 < m < 1
则此不等式组的解为：0 < m < 1
综上所述可得：若函数f(x)=mx2+2mx+1(m∈R)的图象恒在x轴上方,则 0 ≤ m < 1