数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列,则{an}的通项公式为( ) A.n2+2n-1 B.n2-2n+1 C.n2+n D.n2-n
题目
数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列,则{an}的通项公式为( )
A. n2+2n-1
B. n2-2n+1
C. n2+n
D. n2-n+2
答案
a
1=2,a
2=2+c,a
3=2+3c,因为a
1,a
2,a
3成等比数列,
所以(2+c)
2=2(2+3c),解得c=0或c=2.
当c=0时,a
1=a
2=a
3,不符合题意舍去,故c=2.
当n≥2时,由于a
2-a
1=c,a
3-a
2=2c,a
n-a
n-1=(n-1)c,
所以a
n-a
1=[1+2+3+…+(n-1)]c=
•c.
又a
1=2,c=2,故a
n=2+n(n-1)=n
2-n+2(n=2,3,…).
当n=1时,上式也成立,
所以a
n=n
2-n+2(n=1,2,…).
故选D.
举一反三
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