已知向量p=(an,2n),q=(2n+1,-an+1),n∈N*,向量p 与q 垂直,且a1=1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{an•bn
题目
已知向量
=(a
n,2
n),
=(2
n+1,-a
n+1),n∈N
*,向量
与
垂直,且a
1=1
(1)求数列{a
n}的通项公式;
(2)若数列{b
n}满足b
n=log
2a
n+1,求数列{a
n•b
n}的前n项和S
n.
答案
(1)∵向量
与
垂直,∴2
na
n+1-2
n+1a
n=0,
即2
na
n+1=2
n+1a
n,…(2分)
∴
=2∴{a
n}是以1为首项,2为公比的等比数列…(4分)
∴a
n=2
n-1. …(5分)
(2)∵b
n=log
2a
2+1,∴b
n=n
∴a
n•b
n=n•2
n-1,…(8分)
∴S
n=1+2×2+3×2
2+…+(n-1)×2
n-2+n×2
n-1 …①
∴2S
n=1×2+2×2
2+…(n-1)×2
n-1+n×2
n …②…(10分)
由①-②得,-S
n=1+2+2
2+…+2
n-1-n×2
n=
−n•2n=(1-n)•2
n=(1-n)2
n-1…(12分)
∴S
n=1-(n+1)2
n+n•2
n+1=1+(n-1)•2
n.…(14分)
(1)由向量
与
垂直,得2
na
n+1=2
n+1a
n,∴{a
n}是以1为首项,2为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式可求a
n(2)由a
n•b
n=n•2
n-1,则S
n=1+2×2+3×2
2+…+(n-1)×2
n-2+n×2
n-1,利用错位相减法可求其和.
数量积判断两个平面向量的垂直关系;等差数列的通项公式;等比数列的前n项和;数列的求和.
本题主要利用数列的递推公式求解数列的通项公式,等比数列的通项公式的应用,数列求和的错位相减的应用,属于综合试题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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