已知数列an中,a1=2,a2=4,x=根号2是函数f(x)=a(n-1)x^3-3[3an-a(n+1)]x+1(n≥2)的一个极值点

题目

已知数列an中,a1=2,a2=4,x=根号2是函数f(x)=a(n-1)x^3-3[3an-a(n+1)]x+1(n≥2)的一个极值点
1.求an的通项公式 设bn=an-1 (1在外面) ,Sn=a1/b1*b2 +a2/b2*b3 +.+an/bn*b(n+1) ,求证Sn≥2/3

答案

（1）函数f(x)=a(n-1)x^3-3[3an-a(n+1)]x+1的导数为3a(n-1)x^2-3(3an-a(n+1))
极值点x=根号2时导数为0,可得
a(n+1)=3an-2a(n-1),也就是a(n+1)-an=2[an-a(n-1)]
可推得a(n+1)-an=2^n,数学归纳法可得an=2^n
（2）由题意,bn=2^n-1,an/bn*b(n+1)=1/bn-1/b(n+1)
则Sn=1/b1-1/b(n+1)=1-1/（2^(n+1)-1）,n>=1,所以Sn>=S1=2/3