如图,△ABC的等腰直角三角形,点O为AB中点,∠EOF=45° 求证△AOE∽△BFO, 若AB=4求AE×BF的值

题目

如图,△ABC的等腰直角三角形,点O为AB中点,∠EOF=45° 求证△AOE∽△BFO, 若AB=4求AE×BF的值

答案

 
1、△ABC是等腰RT△,〈C=90°,连结CO,
则CO是顶角C的平分线,也是AB边上的高,
∴CO⊥AB,
∴〈ACO=〈BCO=45°,
〈A=〈B=45°,
〈FOB=〈COB-〈COF=90°-<COF,
<COF=<EOF-<EOC
∵〈EOF=45°,
∴〈FOB=90°-（45°-<EOC)=45°+<EOC,
∵<AEO=〈ECO+<EOC=45°+<EOC,(三角形外角等于不相邻的二内角和）,
∴〈AEO=〈FOB,
∴△AOE∽△BFO.
2、由前所述,
∵△AOE∽△BFO,
∴AO/BF=AE/BO,
AO=BO=AB/2=2,
∴AO*BO=AO^2=AE*BF,
∴AE*BF=AO^2=2^2=4.