已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y∈R,有f(xy)=xf(y)+yf(x)

题目

已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y∈R,有f(xy)=xf(y)+yf(x)
问题是若y=f(x)在[0,+∞)上是增函数,且满足f(x)+f(x-1/2)

答案

令x=y=0 得f(0)=0
令y=1得 f(x)=f(1)x+f(x) 从而f(1)=0
令x=y=-1 即f(1)=-2f(-1) 所以f(-1)=0
令y=-1 f(-x)=f(-1)x-f(x) 所以f(x)是奇函数
是不是还有什么条件?
不然好像只能假设存在X>0使得f(X)>0才能往下做了.