已知x.y属于正实数,且x+y=1,求z=(x+1/x)(y+1/y)的最小值

题目

已知x.y属于正实数,且x+y=1,求z=(x+1/x)(y+1/y)的最小值

答案

∵x,y属于正实数,x＋y＝1
∴0＜x＜1,0＜y＜1
令w＝xy＝x(1－x),则有
w＝－x²＋x＝－(x－1/2)²＋1/4
∴w在[0,1/2]上单调递增,在[1/2,1]上单调递减
∴当x＝1/2时,w＝1/4为最大值
假如x可以取到0或1,则w＝0为最小值
∴w∈(0,1/4]
z＝(x＋1/x)(y＋1/y)
＝xy＋1/(xy)＋x/y＋y/x
＝xy＋1/(xy)＋(x²＋y²)/(xy)
＝xy＋1/(xy)＋[(x＋y)²－2xy]/(xy)
＝xy＋1/(xy)＋(1－2xy)/(xy)
＝xy＋2/(xy)－2
＝w＋2/w－2
∵w＞0
∴w＋2/w≥2(w·2/w)^1/2＝2√2
且当且仅当w＝2/w,即w＝√2时等号成立
而√2不在w的取值范围(0,1/4]内
∴当w＝1/4时,z＝w＋2/w－2取得最小值,为25/4