正三棱锥S-ABC的侧棱与底面的边长相等,求侧面与底面所成的余弦值

题目

正三棱锥S-ABC的侧棱与底面的边长相等,求侧面与底面所成的余弦值

答案

如图,取BC中点D,连结PD、AD,
∵PB=PC,
∴PD⊥BC,
同理AD⊥BC,
∴∠ADP就是侧面PBC与底面ABC所成的角,
设棱长为2,
∴△ABC和△PBC是正三角形,
∴AD=PD=√3
由余弦定理得cos∠ADP=(AD²+PD²-AP²)/(2AD*PD)=1/3
∴侧面与底面所成的余弦值是1/3