在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN//BC.设MN交角BCA的角平分线于点E,交角BCA的外角平分

题目

在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN//BC.设MN交角BCA的角平分线于点E,交角BCA的外角平分
线与点F.(1）探究线段OE与OF的数量关系并加以证明 （2）当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是请证明,若不是,则说明理由.（3）当点O运动到何处,且三角形ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?

答案

（1）OE=OF,证明如下：
CE和CF分别是角BCA及其外角平分线,易证角ECF=180/2=90度
角OEC=角ECB=角OCE,同理角OFC=角OCF,所以OE=OC=OF
（2）如果BCFE是菱形,则角EFC=角B=角FCC'（注：C'是BC延长线上任意一点）
而角ACC'=角B+角A,因此,除非角A=角B,否则BCFE不可能是菱形（或：平行四边形）
（3）如果AECF是正方形,根据（2）的推理,首先角A必须等于角B,这样才有CF//AB
其次,角ACE=角ACF=45度,因此AC必须垂直于BC,也就是说,ABC必须是等腰直角三角形,
此时当O移动到AC中点位置,AECF为正方形.