关于数列的一些问题 高数 懂得进

题目

关于数列的一些问题 高数 懂得进
1 什么是非减数列.什么是非增数列?什么是单调数列.在什么情况下这些数列有极限?各举一个例子.
2 什么是子数列?子数列为什么是重要的?子数列有什么用途?举两个例子.
3 什么是无穷数列?这样一个数列收敛的意义是什么.发散的意义呢?举几个例子.
谢.

答案

第一个问题
（1）非减非增：
-1,2,-3,4,-5,6,……,[(-1)^n]*n,…… (发散)
-1,1/2,-1/3,1/4,……,[(-1)^n]/n,…… (收敛于0)
（2）单调递增：
1,2,3,4,……,n,…… (发散)
-1,-1/2,-1/3,……,-1/n,…… (收敛于0)
（3）单调递减：
-1,-2,-3,-4,……,-n,…… (发散)
1,1/2,1/3,……,1/n,…… (收敛于0)
注：单调有界数列必有极限,非减或非增数列的收敛情况比较复杂.
第二个问题：
子列：若数列{bn}是由数列{an}的一些项按原来的顺序构成的一个新数列,则称数列{bn}是数列{an}的子数列.
子列是数列的部分项组成的,可以反映出数列的一些性质（收敛数列的子列也是收敛的,且有相同的极限,但其逆或否都是不正确的,但其你否很有用处——即若子列不收敛或不同子列收敛与不同数值,则数列发散）,但不够全面.因此,仅从子列出发研究数列的性质会比较片面,容易引发错误的结论.如：
等差数列中：下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列,新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍.
等比数列中：下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列,新的等比数列的公比等于k个原等比数列的公比的积.
显然,在这两种前情况下,也可以利用子列得到数列.
另外,数列的奇(偶)列也常常被应用或研究.
第三个问题：
数列,在高等数学中,一般都是指无穷数列.数列的敛散性,是对数列变化趋势的定性与定量描述,但是,无限变大的数列通常被称之为发散的.
至于数列的敛散性及其意义,还请你看看书,有一定基础之后,再问这个问题吧.