计算定积分：∫0→1 (1-x^2)^n dx

题目

计算定积分：∫0→1 (1-x^2)^n dx
如题.提示：令I[n]=∫0→1 (1-x^2)^n dx.分子：2^(2n)(n!)^2,分母：(2n+1)!

答案

∫(0,1) (1-x²)^n dx令x=sint则积分化为：∫(0,π/2) (cost)^(2n+1)dx ①利用积分公式∫(0,π/2) (sint)^n dx=∫(0,π/2) (cost)^n dx=(n-1)!/n!当n为奇数时那么①式就可化为：(2n)!/(2n+1)!=(2n)*(2n-2)*……*...