已知f(x)所确定的曲线与X轴相切于原点,且满足方程f(x)-x=-f'(x),求f(x)

题目

已知f(x)所确定的曲线与X轴相切于原点,且满足方程f(x)-x=-f''(x),求f(x)

答案

特征方程k^2+1=0, k=i, k=-i. 齐次方程通解为acosx+bsinx,0不是特征根,特解设为cx,代入得c=1, 故解为 f=acosx+bsinx+x,由f(0)=0得 a=0,由f'(0)=0=-asin0+bcos0+1得b=-1,故所求为
f(x)=x-sinx.