动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C，过F作曲线C两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M、N． （1）求曲线C的方程； （2）求证：直线MN必过定点．

题目

动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C，过F作曲线C两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M、N．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：直线MN必过定点．

答案

（1）∵动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，
∴点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离，
∴点P的轨迹为抛物线，曲线C的方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），代入y²=4x可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

∴x_M=

k2+2

k2

，∴y_M=k（x_M-1）=

2

k

∴M（

k2+2

k2

，

2

k

）
∵AB⊥CD，∴将M坐标中的k换成-

1

k

，可得N（2k²+1，-2k）
∴直线MN的方程为y+2k=

−2k− 2 k

2k2+1− k2+2 k2

（x-2k²-1）
整理得（1-k²）y=k（x-3）
∴不论k为何值，直线MN必过定点T（3，0）．