试证:有且仅有一个正整数n,使得2^1999+2^2000+2^2001+2^1994+2^n为完全平方数并求n的值

题目

试证:有且仅有一个正整数n,使得2^1999+2^2000+2^2001+2^1994+2^n为完全平方数并求n的值

答案

m = 2^1999+2^2000+2^2001+2^1994+2^n = (32+64+128+1)2^1994+2^n = 225·2^1994+2^n.
当n为奇数,可设n = 2k+1 (k为非负整数),有2^n = 2·4^k = 2(3+1)^k除以3余2.
又225被3整除,可知m = 225·2^1994+2^n除以3余2,不为完全平方数.
因此n必须为偶数,可设n = 2k (k为正整数).
当n ≤ 1994,m = 225·2^1994+2^n = 2^(2k)·(225·2^(1994-2k)+1).
若m为完全平方数,则225·2^(1994-2k)+1为完全平方数.
而225·2^(1994-2k) = (15·2^(997-k))²也是完全平方数,
即有两个相邻正整数都是完全平方数,矛盾 (1 = x²-y² = (x+y)(x-y)没有正整数解).
因此n ≤ 1994时,m不为完全平方数.
当n > 1994,m = 225·2^1994+2^n = 2^1994·(225+2^(2k-1994)).
m为完全平方数当且仅当225+2^(2k-1994)为完全平方数.
而2^(2k-1994) = (2^(k-997))²是完全平方数,
于是x = √m,y = 2^(k-997)是方程x²-y² = 225的正整数解.
由x,y均为正整数,有x > y,又(x-y)(x+y) = 225,可知x-y与x+y都是225的约数.
又x-y < x+y,可能的情况共有4种:x-y = 1,x+y = 225;
x-y = 3,x+y = 75;
x-y = 5,x+y = 45;
x-y = 9,x+y = 25.
分别对应y = 112,36,20,8.
其中只有y = 8是2的方幂,对应k-997 = 3,即k = 1000,也即n = 2000.
综上,m为完全平方数当且仅当n = 2000.