1.f(x)是定义在R上的减函数,且f(a^2-sinx)≤f(a+3/4+cosx^2)对一切x∈r成立,求a范围?
题目
1.f(x)是定义在R上的减函数,且f(a^2-sinx)≤f(a+3/4+cosx^2)对一切x∈r成立,求a范围?
2.f( x)= ax^2+bx+c满足f(-1)=0,是否存在实数a,b,c,使不等式x≤f(x)≤1/2(x^2+1)对一切实数x成立?
答案
1.
由于f(a^2-sinx)≤f(a+3/4+cosx^2)对一切x∈r成立
又:f(x)是在R上的减函数
则有:a^2-sinx≥a+3/4+(cosx)^2
即:a^2-a-3/4≥(cosx)^2+sinx
a^2-a-3/4≥[1-(sinx)^2]+sinx
故:a^2-a-3/4≥{-(sinx)^2+sinx+1}max
设t=sinx ,f(t)=-t^2+t+1
由于X属于R,则t=sinx属于[-1,1]
又:f(t)=-(t^2-t-1)
=-(t^2-t+1/4-5/4)
=-(t-1/2)^2+5/4
则当t=1/2时,f(t)max=f(1/2)=5/4
故:a^2-a-3/4≥{-(sinx)^2+sinx+1}max=5/4
则:a^2-a-2≥0
(a+1)(a-2)≥0
则:a≥2或a≤-1
2.由于对于任意实数x,
都有:x≤f(x)≤1/2(x^2+1)
令X=1
则有:1≤f(1)≤1
即:f(1)=1
则由f(-1)=0,得:a-b+c=0
f(1)=1,得:a+b+c=1
联立,得b=a+c=1/2
又因为:对任意实数x,都有f(x)-x≥0
即ax^2-x/2+c≥0
所以:判别式小于等于0,且a>0
即ac≥1/16
又因为a+c≥2√ac≥2√(1/16)=1/2
且已知a+c=1/2
所以a=c=1/4
故存在实数a=1/4,b=1/2,c=1/4,使不等式x≤f(x)≤1/2(x^2+1)对一切实数x成立
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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