设（X,Y）服从二维正态分布,则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是（ ）

题目

设（X,Y）服从二维正态分布,则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是（ ）
A、X,Y不相关；B、E(XY)=E(X)E(Y)；C、cov(X,Y)=0；D、E(X)=E(Y)=0.

答案

B.这是唯一充分必要条件.
A 如果 X Y 相互独立,那么cor（x,y)=0,证明cor=cov(x,y)/sd(x)*sd(y)
cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y) 如果xy 独立,显然 cov（x,y)=0.
C 同样cov（x,y)=0,
但是cor=0 cov=0 不能说x y 独立.反列太麻烦,我就就不举了,但相信我.
D E(X)=E(Y)=0 不能说明E(XY)=0 列子 X,N(0,1) E(X)=0 E(Y)=0 明显 XY=CHI-Sq 卡其分布,自由度等于1,有E（XY)=1.E(XY)不等于E(X)E(Y)