微积分问题,有界数列{an}发散,具体见补充

题目

微积分问题,有界数列{an}发散,具体见补充
证明：若有界数列{an}发散,则{an}存在两个收敛子列,分别收敛到两个不相等的实数

答案

根据凝聚定理：有界数列必存在收敛子列,这是实数系的基本定理之一,可以直接使用,证明一般教材上都有.设an的一个收敛子列为ank,limank=A,根据极限定义知A的邻域内包含an的无限多项,由于an发散,则在A的邻域外不可能只有an的有限项（否则an就收敛于A了）,也就是说在A的邻域外也存在an的无限多项,于是这邻域外的无限多项又可构成一个有界数列,它也存在收敛子列ank',设limank'=B,而由于这些项没有一项在A的邻域之内,所以ank'不可能收敛于A,故A≠B,这样就找到了an的两个收敛于不同实数的子列.