已知数列{an}满足Sn+an=2n+1. (1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.

已知数列{an}满足Sn+an=2n+1. (1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.

题目
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.
(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式;
(2)用数学归纳法证明所得的结论.
答案
(1)当n=1,时S1+a1=2a1=3
∴a1=
3
2

        当n=2时,S2+a2=a1+a2+a2=5
∴a2=
7
4

同样令n=3,则可求出a3=
15
8

∴a1=
3
2
,a2=
7
4
,a3=
15
8

猜测an=2-
1
2n

(2)①由(1)已得当n=1时,命题成立;
②假设n=k时,命题成立,即ak=2-
1
2k

当n=k+1时,a1+a2+…+ak+2ak+1=2(k+1)+1,
且a1+a2+…+ak=2k+1-ak
∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
∴2ak+1=2+2-
1
2k
,即ak+1=2-
1
2k+1

即当n=k+1时,命题成立.
根据①②得n∈N+,an=2-
1
2n
都成立.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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