已知三角形ABC三边长3,4,5,P为其内切圆上一点,以PA,PB,PC为直径三圆面积和最大和最小值?

题目

已知三角形ABC三边长3,4,5,P为其内切圆上一点,以PA,PB,PC为直径三圆面积和最大和最小值?

答案

建立坐标系
设A（3,0）B（0,4）C（0,0）P（x,y）内切圆半径为r
三角形ABC面积 S=1/2AB*AC=1/2(AB+AC+BC)r=12 解得 r=1
即内切圆圆心坐标 （1,1）
P在内切圆上 则有 （x-1）^2+(y-1)^2=1
P点到A,B,C距离的平方和为 d=x^2+y^2+(x-3)^2+y^2+x^2+(y-4)^2
=3(x-1)^2+3(y-1)^2-2y+19=22-2y
显然 0≤y≤2 即 18≤d≤22 9π/2≤πd/4≤11π/2
即以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和最大值为11π/2;
最小值为 9π/2