在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为√2的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点

题目

在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为√2的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点
1）求证：平面PAB⊥平面ABC
(2)求三棱锥P-ABC的体积(3)求证；OD平行于面PAC

答案

（1）证明：连结PO,CO
因为在三角形PAB中,PA=PB=√2,O是AB中点
所以PO⊥AB
又AB=2,所以PA²+PB²=AB²
则在直角三角形PAB中,PO=1/2*AB=1
同理由AC=BC=√2知PA²+PB²=AB²即三角形ABC是直角三角形
则：CO=1/2*AB=1
因为PC=√2,所以PO²+CO²=PC²
则：PO⊥OC
由上知PO⊥AB
所以PO⊥平面ABC
因为PO在平面PAB内
所以平面PAB⊥平面ABC
（2）由（1）知PO⊥AB,CO⊥AB
则AB⊥平面POC
所以V三棱锥P-ABC=1/3*AB*S三角形POC (割补法求体积)
=1/3*2*1/2*1*1
=1/3
（3）因为O,D分别是AB,PB的中点
所以OD//PA
又PA在平面PAC内,OD不在平面PAC内
所以由线面平行的判定定理知
OD平行于面PAC