在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E为AC的中点,ED.CB延长线交于一点F,求证：AC*DF=BC*CF

题目

在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E为AC的中点,ED.CB延长线交于一点F,求证：AC*DF=BC*CF

答案

由CD⊥AB,E是AC的中点,得,DE=AE=AC/2,
所以,角A=角ADE,
因为角QDE=角BDF,所以,角A=角BDF
由CD⊥AB,∠ACB=90°可得,角A=角BCD,
所以,角BCD=角BDF
而角FBD=角BCD+角CDB=角BDF+角CDB=角CDF,角F为公共角,
所以,三角形CDF相似三角形DBF,
所以,CD：BD=CF：DF.
由CD⊥AB,∠ACB=90°可得,三角形ABC相似于三角形CBD
所以,AC：CD=BC：BD,即AC：BC=CD：BD,
于是,AC：BC=CF：DF
即AC*DF=BC*CF.