A是以BC为直径的圆O上一点,过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点D,E是BD的中点,延长AE

题目

A是以BC为直径的圆O上一点,过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点D,E是BD的中点,延长AE
若sin∠F=3/5,求sin∠D的值

答案

连接AB,OA DB切圆O于点B,BC为直径 ∴DB⊥FC于B ∴∠FBE=∠DBC=90° 而∠BAC为直径BC所对的圆周角 ∴∠BAC=90° ∴∠DAB=180°-90°=90° ∴△DAB是直角三角形 而在Rt△DAB中,E是斜边BD的中点 ∴AE=BE=BD/2 △ABE是等腰三角形 两底角∠EAB=∠DBA 而∠DBA为圆O切线DB与弦AB所成的弦切角,∠C是弦AB所对的圆周角 故∠DBA=∠C ∴∠EAB=∠C OA,OC均为圆O半径,有OA=OC 于是,在等腰△AOC中,∠OAC=∠C ∴∠EAB=∠OAC ∴∠FAO=∠EAB+∠BAO=∠OAC+∠BAO=∠BAC=90° 在Rt△AFO中,∠FAO=90° ∴sin∠F=OA/OF=3/5 设OA=3,则OF=5 ∴OB=OA=3 BC=2OB=6 BF=OF-OB=2 而在Rt△FBE中,∠FBE=90° ∴sin∠F=BE/EF=3/5 ① 再由勾股定理有：EF^=BE^+BF^ ② 而BF=2 由①,②联立可求出：BE=3/2 ∴BD=2BE=3 在Rt△DBC中：∠DBC=90° 由勾股定理可得：CD^=BD^+BC^ 代入BD=3,BC=6,可求出：CD=3√5 于是,有sin∠D=BC/CD=6/(3√5)=2√5/5