a、b、c为非负数,a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ac≤1/4(1+9abc)

题目

a、b、c为非负数,a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ac≤1/4(1+9abc)
求详解

答案

a²+b²≥2ab
可得（a²+b²）c≥2abc
同理可得（a²+c²）b≥2abc
（b²+c²）a≥2abc
三式左右相加,得：
（a²+b²）c+（a²+c²）b+（b²+c²）a≥6abc
上式两端同时加上3abc,得
（a²+b²）c+（a²+c²）b+（b²+c²）a+3abc≥9abc
重新排一下顺序,再把3abc拆成三个abc,得
（a²+b²）c+（a²+c²）b+（b²+c²）a+3abc
=(abc+a²c+a²b)+(b²c+abc+b²a)+(c²b+c²a+abc)
=(bc+ac+ab)a+(bc+ac+ab)b+(bc+ac+ab)c
=(bc+ac+ab)(a+b+c)
所以：
(bc+ac+ab)(a+b+c)≥9abc
又a+b+c=1,则(bc+ac+ab)≥9abc