设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点……

题目

设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点……
设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx（k>0）与AB相交于点D,与椭圆相较于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.

答案

椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点,
椭圆方程：x^2/4+y^2=1.
与直线y=kx（k>0）交点：E(2/√(1+4k^2),2k/√(1+4k^2)),
F(-2/√(1+4k^2),-2k/√(1+4k^2)),
S=S(AEBF)=S(AEO)+S(AFO)+S(BEO)+S(BFO)
=4k/√(1+4k^2)+2/√(1+4k^2)
=2(1+2k)/√(1+4k^2),
设k=(tant)/2,(0≤t<π/2),
S=2(1+tant)cost=2(cost+sint)=2√2sin(t+π/4),
t=π/4,即k=1/2时,S有最大值,最大值Smax=2√2.