设曲面∑:x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1上的点(x,y,z)处的切平面为π,计算曲面积分∫∫∑1/λdS,其中λ是坐标原点到π的距离

题目

设曲面∑:x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1上的点(x,y,z)处的切平面为π,计算曲面积分∫∫∑1/λdS,其中λ是坐标原点到π的距离

答案

步①,求∑上点(x,y,z)处的切平面π的方程：
∑的方程：F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
π的法向量n={ F’x,F’y,F’z}={ 2x/a^2,2y/b^2,2z/c^2}
π的方程：2x/a^2*(X- x)+2y/b^2*(Y-y)+2z/c^2*(Z-z)=0
整理得xX/a^2+yY/b^2+zZ/c^2-1=0
步②,求坐标原点到π的距离λ：
利用点到平面的距离公式得到λ=1/√(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)
步③,求曲面积分∫∫∑1/λdS中的dS：
积分曲面∑的方程：F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
亦即z=±c√(1-x^2/a^2-y^2/b^2)★
利用隐函数求导公式,z’x=- F’x/F’z=-x c^2/ za^2
z’y=- F’y/F’z=-y c^2/ zb^2
则可求出dS=√1+(z’x )^2+(z’y)^2)dxdy
=c^2/┃z┃*√(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4) dxdy▲
步④,求曲面积分∫∫∑1/λdS：
先要把这个积分的积分曲面分成上下两片
然后用计算公式把两个曲面积分化成两个二重积分
注意这两个二重积分的积分区域是相同的椭圆域,即上下两片椭球面分别投影到xoy面的投影
而这两个二重积分的被积函数只相差一个符号,见★▲
于是得到所求的曲面积分等于零.