已知双曲线y^2/a^2-x^2/3=1的焦点分别为F1,F2,离心率为2.设P.Q分别为渐近线l1,l2上的动点,且2|PQ|=5|FIF2|,求线段PQ中点M的轨迹方程,并说明曲线的形状

题目

已知双曲线y^2/a^2-x^2/3=1的焦点分别为F1,F2,离心率为2.设P.Q分别为渐近线l1,l2上的动点,且2|PQ|=5|FIF2|,求线段PQ中点M的轨迹方程,并说明曲线的形状

答案

离心率为2,可设a=t,c=2t,则b=sqr(3)t.∵b^2=3,∴a=1,c=2,b=sqr(3)
渐近线为l1:y=3/sqr(3)*x与l2:y=-3/sqr(3)*x
设P(x1,y1)在l1上,则x1=sqr(3)*y1
设Q(x2,y2)在l2上,则x2=-sqr(3)*y2
中点M(x0,y0),则x0=(x1+x2)/2=(sqr(3)*y1-sqr(3)*y2)/2
y0=(y1+y2)/2=((x1-x2)/sqr(3))/2
整理得：
y1-y2=2*x0/sqr(3)
x1-x2=2sqr(3)*y0
∵PQ=5/2F1F2=5/2*4=10
∴(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=100
4/3*x0^2+4*3*y0^2=100
(x0^2)/3+(y0^2)*3=25为椭圆