设s为非空有下界的数集,S1是S的全体下界所成之集,证明inf S=supS1

题目

设s为非空有下界的数集,S1是S的全体下界所成之集,证明inf S=supS1

答案

证明：设infS=A∈S,则对于任意的X∈S,有X≥A,而A∈S,故A是数集S中最小的数,即A=minS
所以infS=minS
又因为S1为非空有上界的数集,同理可证supS1=maxS1
又由任意小于等于minS的数构成S1,所以maxS1=minS
即可证infS=supS1