设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点，求证：PF•RF=0．

题目

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点，求证：

PF

•

RF

=0．

答案

证明：设Q（

y 2 0

2p

，y₀），则R（-

p

2

，y₀），
直线OQ的方程为y=

2p

y0

x，
将x=-

p

2

代入上式，得y=-

p2

y0

，
∴P（-

p

2

，-

p2

y0

）．又F（

p

2

，0），
∴

PF

=（p，

p2

y0

），

RF

=（p，-y₀）．
∴

PF

•

RF

=0．

先根据抛物线方程设出点Q和R，则直线OQ的方程可得，将x=-

p

2

代入即可得交点P的坐标，同时根据抛物线方程可知点F的坐标，进而表示出

PF

和

RF

，求得

PF

•

RF

=0．

本题考点：抛物线的应用．

考点点评：本题主要考查了抛物线的应用，向量的计算．考查了学生综合把握抛物线基础知识的能力．