已知O,A,B是不共线的三点,且向量OP=mOA+nOB,若m+n=1,证A,B,P三点共线

题目

已知O,A,B是不共线的三点,且向量OP=mOA+nOB,若m+n=1,证A,B,P三点共线
再若A,P,B三点共线,求证m+n=1.

答案

（1）证明：若m+n=1,则A,B,P三点共线
m=1-n,所以有
OP=(1-n)OA+nOB=OA+n(OB-OA)=OA+nAB
所以OP-OA=nAB,AP=nAB
所以AP与AB共线
所以A,B,P三点共线
（2）证明：若A,B,P三点共线,则m+n=1
设P分AB的比是λ,则有
AP=λPB
OP-OA=λ(OB-OP)
OP=OA+λOB-λOP
(1+λ)OP=OA+λOB
OP=OA/(1+λ)+λOB/(1+λ)
与OP=mOA+nOB比较可得
m=1/(1+λ),n=λ/(1+λ)
所以m+n=1/(1+λ)+λ/(1+λ)=1