设向量a,b是不共线的两个非零向量,向量OM=m向量a,向量ON=n向量b,向量OP=α向量a β向量b,若M P N三点共线,求证：α/m β/n=1

题目

设向量a,b是不共线的两个非零向量,向量OM=m向量a,向量ON=n向量b,向量OP=α向量a β向量b,若M P N三点共线,求证：α/m β/n=1
证明：∵M、P、N三点共线,
∴存在实数λ,使得
MP=λPN ,
∴OP=(OM+λON)/(1+λ)
=[m/(1+λ)]a+[λn/(1+λ)]b．
∵a、b不共线,
∴α=m/(1+λ),
β=λn/(1+λ)
∴α/m+β/n
=1/(1+λ)+λ/(1+λ)
=1．
OP=(OM+λON)/(1+λ)这一步是什么意思?α=m/(1+λ),β=λn/(1+λ) 为什么就直接相等了?

答案

M、P、N三点共线,即：MP、PN共线
即：MP=kPN
而：MP=OP-OM,PN=ON-OP
故：OP-OM=k(ON-OP)
即：OP=(OM+λON)/(1+k)-------这一步这样来的
=[m/(1+k)]a+[λn/(1+k)]b
即：αa+βb=[m/(1+k)]a+[kn/(1+k)]b
即：(α-m/(1+k))a+(β-kn/(1+k))b=0
a、b是不共线的非零向量,故：α-m/(1+k)=0,β-kn/(1+k)=0
即：α=m/(1+k),β=kn/(1+k)
即：α/m+β/n=1/(1+k)+k/(1+k)=1