已知函数f(x)=alnx-x2+1.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值; (2)求证:f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是 a=2; (3)若a

已知函数f(x)=alnx-x2+1.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值; (2)求证:f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是 a=2; (3)若a

题目
已知函数f(x)=alnx-x2+1.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值; (2)求证:f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是 a=2; (3)若a
答案
已知函数f(x)=alnx-x2+1.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值;
(2)求证:f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是 a=2;
(3)若a0
∴f’(x)=a/x-2x==> f’(1)=a-2
∵f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0
∴f’(1)=a-2=4==>a=6,f(1)=-1+1=0
则切线方程y=4(x-1)==>b=-4
∴a=6,b=-4
(2)证明:充分性
∵a=2==> f(x)=2lnx-x^2+1
令f’(x)=2/x-2x=0==>x=1
f’’(x)=-2/x^2-2==>当x>0时,f’’(x)0,f(x)≤0恒成立
必要性
∵函数f(x)=alnx-x^2+1,其定义域为x>0
令f’(x)=a/x-2x=0==>x=√(2a)/2 (a>0)
f’’(x)=-a/x^2-2==>当x>0时,f’’(x)a=2
∴对任意x>0,f(x)≤0恒成立,则a=2
综上,a=2是f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件
(3)解析:∵函数f(x)=alnx-x^2+1,其定义域为x>0
当a|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|>=1==>|[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)|>=1
由导数定义可知,即|f’(x)|>=1
f’(x)=a/x-2x>=1==>a>=x-2x^2==> g(x)最大值为1/4(不合题意)
f’(x)=a/x-2xag(x)最小值为-1/4
∴a的取值范围为a
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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