求星形图X^2/3+Y^2/3=a^2/3,其图形绕X轴旋转一周的旋转体体积.

题目

求星形图X^2/3+Y^2/3=a^2/3,其图形绕X轴旋转一周的旋转体体积.

答案

由所给星行方程得X参数方程为 x=acos^3t ,y=asin^3t.根据旋转体的体积公式,有Vx=2*∫(0到a)πf(x)^2dx=-2πa^2 ∫(0,a)sin^6tdt 运用公式 ∫sin^nxdx=-sin^(n-1)xcosx/n+(n-1)/n∫sin^(n-2)xdx 有Vx=2πa^2[sin^5xcosx/6+5/24sin^3xcosx-5/8(x/2-1/4sin2x)](0到a)=πa^2sin^5cosa/3+5/12πa^2sina^3cosa-5a/16+5/32sin2a