(2014•阳泉二模)如果函数f(x)=-2abln(x+1)的图象在x=1处的切线l过点(0,-1b),并且l与圆C:x2+y2=1相离,则点(a,b)与圆C的位置关系是( ) A.在圆上 B.在
题目
(2014•阳泉二模)如果函数f(x)=-
ln(x+1)的图象在x=1处的切线l过点(0,-
),并且l与圆C:x
2+y
2=1相离,则点(a,b)与圆C的位置关系是( )
A. 在圆上
B. 在圆外
C. 在圆内
D. 不能确定
答案
∵f(x)=-
ln(x+1),
∴f′(x)=-
•
.
∴切线l的斜率k=f′(1)=-
•
=-
.
∴直线l的方程为y+
=-
x,
即:ax+by+1=0.
∵直线l与圆x
2+y
2=1相离,
∴圆心到直线l的距离d=
>r=1.
∴a
2+b
2<1.
∴点(a,b)在圆x
2+y
2=1的内部.
故选:C.
对函数f(x)=-
ln(x+1)求导得到直l的斜率,从而得到直线l的点斜式方程.利用直线与圆的位置关系可得到a,b与圆x
2+y
2=1的半径之间的关系,从而可判断点与圆的位置关系.
利用导数研究曲线上某点切线方程;直线与圆的位置关系.
本题考查导数的应用,点的直线的距离,直线的点斜式方程,点,直线与圆的位置关系等知识.属于中档题.
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