(2011•百色)如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N(M在折线AOC上,N在折线AB

(2011•百色)如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N(M在折线AOC上,N在折线AB

题目
(2011•百色)如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N(M在折线AOC上,N在折线ABC上).设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1,在l左上方部分的面积为S2,记S为S1、S2的差(S≥0).
(1)求∠OAB的大小;
(2)当M、N重合时,求l的解析式;
(3)当b≤0时,问线段AB上是否存在点N使得S=0?若存在,求b的值;若不存在,请说明理由;
(4)求S与b的函数关系式.
答案
(1)过点B过BE⊥x轴,垂足为E.点E(4,0),
∴BE=4,AE=4,
∴△ABE为等腰直角三角形,
∴∠OAB=45°,
答:∠OAB=45°.
(2)当点M、N重合时,
∵S≥0,
∴应重合到点C(0,4),
∵把C(0,4)代入y=x+b得:b=4,
∴直线l的解析式y=x+4.
(3)四边形OABC的面积为
1
2
×4(4+8)=24,
直线l:y=x+b与x轴的交角为45°,△AMN为等腰直角三角形.
当S=0时,△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半,即12.
过点N作x轴的垂线NH,
则NH=AH=MH,
设NH=a,
1
2
×2a×a=12,
解得:a=2
3

∴OH=8-2
3

∴点N的坐标为(8-2
3
,2
3
),
代入y=x+b得:b=4
3
-8.
答:当b≤0时,线段AB上存在点N使得S=0,b的值是4
3
-8.
(4)分为三种情况:①如图在N1、M1时,当4
3
-8≤b<0时,
OM=-b,AM=8-(-b)=8+b,
设直线AB的解析式是y=cx+d,
把A(8,0),B(4,4)代入得:
0=8c+d
4=4c+d

解得:
c=−1
d=8

y=-x+8,
解方程组
y=−x+8
y=x+b
得:
x=
8−b
2
y=
8+b
2

S1=
1
2
AM×NH=
1
2
×2×
8+b
2
×
8+b
2
=
1
4
b2+4b+16;
S2=24-S1
S=|S1-S2|=
1
4
b2+4b+16-[24-(
1
4
b2+4b+16)]=
1
2
b2+8b+8,
②当0≤b≤4时,如图在N2、M2点时,OM=b,CM=4-b,
S2=
1
2
(4-b)2,S1=24-S2
S=S1-S2=-b2+8b+8,
③-8<a<-8+4
3
时,如图,在N3、M3时,S1=
1
2
×2×
8+b
2
×
8+b
2
=
1
4
b2+4b+16;
S2=24-S1
S=S2-S1=[24-(
1
4
b2+4b+16)]-(
1
4
b2+4b+16)=-
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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