三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，则其底面一定是（　　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形

题目

三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，则其底面一定是（　　）
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 等边三角形

答案

设三条侧棱的长度分别为a，b，c，
∵三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，
∴底面的三条边的平方分别为a²+b²，a²+c²，b²+c²，
∴a²+b²+a²+c²-（b²+c²）=2a²＞0，a²+b²+b²+c²-a²-c²=2b²＞0，b²+c²+a²+c²-b²-a²=2c²＞0，
根据余弦定理可知，底面的三个内角都是锐角，所以底面一定是锐角三角形；
故选C．