设0＜a＜1，x和y满足logax+3logxa-logxy=3，如果y有最大值24，求这时a和x的值．

题目

设0＜a＜1，x和y满足log_ax+3log_xa-log_xy=3，如果y有最大值

2

4

，求这时a和x的值．

答案

原式可化为log_ax+

3

logax

-

logay

logax

=3，即log_ay=log_a²x-3log_ax+3=（log_ax-

3

2

）²+

3

4

，知当log_ax=

3

2

时，log_ay有最小值

3

4

．
∵0＜a＜1，∴此时y有最大值a

3

4

．
根据题意a

3

4

=

2

4

⇒a=

1

4

．这时x=a

3

2

=(

1

4

)

3

2

=

1

8

．

把原方程转化为logax+3logax-logaylogax=3，即logay=loga2x-3logax+3=（logax-32）2+34，然后利用二次函数的性质求如果y有最大值24时a和x的值．

本题考点：对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值．这类问题，也是常见题型之一．