已知在等差数列{a}中,a2=5,前10项和s10=120,若从数列{an}中依次取出第2项,第四项,第八项……

题目

已知在等差数列{a}中,a2=5,前10项和s10=120,若从数列{an}中依次取出第2项,第四项,第八项……
,第2的n次方项按原顺序组成新数列{bn},且这个数列前n项和为Tn,试比较Tn+1与2Tn的大小
第2^n项即为bn=2^(n+1)+1,于是Tn=2^(n+2)+n-4.

答案

解析：
已知等差数列{an}中,a2=5,前10项和s10=120
因为a1+a10=a2+a9,且S10=5(a1+a10)
所以：5(a2+a9)=120
解得a9=19
又a9=a2+7d,所以：公差d=2,a1=3
则等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)×d=3+(n-1)×2=2n+1
若从数列{an}中依次取出第2项,第四项,第八项……,第2的n次方项按原顺序组成新数列{bn}
则：b1=a2=4+1=5,b2=a4=8+1=9,b3=a8=16+1=17,...,
bn=a(2^n)=2*(2^n)-1=2^(n+1) +1 (bn由前述通项公式推得)
所以：新数列{bn}的前n项和：
Tn=(4+1)+(8+1)+(16+1)+...+[2^(n+1) +1]
=[4+8+16+...+2^(n+1) ] +n
=4×(1-2^n)/(1-2) +n
=4×2^n -4+n
=2^(n+2) +n-4