已知函数f(x)=-x^3+ax(a不等于0)是R上的单调函数.

题目

已知函数f(x)=-x^3+ax(a不等于0)是R上的单调函数.
求:不等式f[x(x-a-1)]>0的解集.

答案

∵函数f(x)=-x³+ax在R上是单调函数
∴f'(x)=-3x²+a要么恒大于0要么恒小于0
由其形式可知一定是恒小于0 即a＜0.
即函数在R上是单调递减函数
又∵f(x)=0
∴f[x(x-a-1)]>0
→f[x(x-a-1)]>f(0)
即x(x-a-1)＜0
①当-1＜a＜0时
解为0＜x＜a+1
②当a=-1时 为无解.
③当a＜-1时
解为a+1＜x＜0.