已知复数z满足IzI=1,且Iz+1/2I=Iz-3/2I,求复数z

题目

已知复数z满足IzI=1,且Iz+1/2I=Iz-3/2I,求复数z

答案

假设z=a+bi
由|z|=1,可知 a²+b²=1
|z+1/2|² = (a+1/2)²+b²
|z-3/2|² = (a-3/2)²+b²
由|z+1/2| = |z-3/2|,得
(a+1/2)² + b² = (a-3/2)²+b²
得 (a+1/2)=(a-3/2) 或 (a+1/2)=-(a-3/2),显然前一式不成立,后一式可得 a=1/2
b² = 1-a² = 1-1/4,得 b=±(√3)/2
因此 z=1/2±(√3)/2i