1.已知α,β∈〔0,π〕,且α,β是方程asinx＋bcosx＋c＝0(ab≠0)

题目

1.已知α,β∈〔0,π〕,且α,β是方程asinx＋bcosx＋c＝0(ab≠0)
两相异实根,求sin(α＋β)的值.
2.用解析法证明:三角形的重心到三顶点的距离的平方和是此三角形所在
平面上任意一点到三顶点的距离的平方和的最小值.
3.已知三角形三边的长是三个连续的整数,最大角是最小角的两倍,求这个三角形的最小边的长.
4.在半径为R的扇形OAB中,圆心角∠AOB＝60度,在扇形中有一个内接矩形,
求内接矩形的最大面积.
｛要有过程｝

答案

1.(cosx)2=1-(sinx)2带入得
(a2+b2)(sinx)2+2ac*sinx+c2-b2=0
所以sinα*sinβ=(c2-b2)/(a2+b2)
同理得cosα*cosβ=(c2-a2)/(a2+b2)
cos(α＋β)=cosα*cosβ-sinα*sinβ=(b2-a2)/(a2+b2)
sin(α＋β)=2ab/(a2+b2)
2.证明略
3.设三边长为a+1,a,a-1,最小角为α
sin2α/(a+1)=sinα/(a-1) sin2α=2sinα*cosα
cosα=2(a+1)/(a-1)
又因为cosα=a2+(a+1)2-(a-1)2/2a(a+1)
(a+4)(a-1)=(a+1)2
a=5所以最小边长为4
4.有两种可能：1,矩形2个顶点在弧上,2个在半径上;2,矩形一条边在半径上,另两个顶点,一个在另一条半径上一个在弧上!
第一种:设长为2x,宽为y,则矩形面积为2xy
(根号3*x+y)2+x2=R2
4X2+Y2+2xy*根号3-R2=0
R2-S*根号3=4x2+y2>=4xy=2S
S=4/(S根号3)
S