设函数f(x)可导,且满足f(x)=x^2+∫0～x f(t)dt,求f(x)

题目

设函数f(x)可导,且满足f(x)=x^2+∫0～x f(t)dt,求f(x)

答案

∵f(x)=x^2+∫(0~x)f(t)dt
∴f(0)=0
f'(x)=2x+f(x),解此微分方程得f(x)=Ce^x-2x-2 (C是积分常数)
f(0)=C-2=0,即C=2.
故f(x)=2e^x-2x-2.