2道代数题

题目

2道代数题
（1）数列an满足：an+1=an^2+((an)-1)^2,求所有的有理数ao,使得存在四个不同的正整数p,q,r,s,满足ap+as=aq+ar.(说明：第一个等式中an+1下标是n+1,第二个等式中p,q,r,s均为下标)
6.设x,y,z,a,b,c为正整数,且xy+yz+zx=3.求证：
a(y+z)/(b+c)+b(x+z)/(a+c)+c(x+y)/(a+b)>=3

答案

(1)注意到 a_{n+1}-1/2 = 2 (a_n - 1/2)^2可以求得 a_n = 2^{(2^n)-1} (a_0 - 1/2)^{2^n} + 1/2所以序列 {a_n} 是单调的.故不妨设 p>q>r>s设 a_0 - 1/2 = x/y 是有理数,其中 x,y 是整数,且x,y 互素代入 a_p + a_s = ...