设f(x)满足关系式f^2(lnx)-2xf(lnx)+x^2lnx=0且f(0)=0求f(x)

题目

设f(x)满足关系式f^2(lnx)-2xf(lnx)+x^2lnx=0且f(0)=0求f(x)

答案

f^2(lnx)-2xf(lnx)+x^2=x^2-x^2lnx
[f(lnx)-x]^2=x^2-x^2lnx
f(lnx)-x=±x√(1-lnx)
f(lnx)=x±x√(1-lnx)
f(x)=e^x±e^x√(1-x)
f(0)=1±√(1-0)=0
取-号
所以f(x)=e^x-e^x√(1-x)