设函数f（x）=x^3+ax,g（x）=2x^2+b,已知它们的图像在x=1处有相同的切线

题目

设函数f（x）=x^3+ax,g（x）=2x^2+b,已知它们的图像在x=1处有相同的切线
①求函数f（x)和g（x）的解析式 ②若函数F(x)=f（x)-mg(x)在区间[0.5,3]上是单调减函数,求实数m的取值范围.

答案

① f(x)和g(x)在x=1处有相同切线 则,f`(1)=g`(1),f(1)=g(1) 即3+a=4,1+a=2+b 解得a=1,b=0 ∴f(x)=x+x,g(x)=2x ② F(x)=f(x)-mg(x)=x+x-m(2x)=x-2mx+x在[0.5,3]单调减 ∴F`(x)=3x-4mx+1≥0在[0.5,3]恒成立 m≤(3x+1)/4x=3x/4 +1/(4x) 设u=3x/4+1/(4x)≥2√[(3x/4)×(1/(4x))]=√3/2 当且仅当3x/4=1/(4x)时取等号 此时x=√3/3 ∴u在[0.5.√3/3]单调减,(√3/3,3]单调增 且umin=√3/2 要满足m≤u恒成立 只需m≤umin=√3/2 ∴m∈(-∞,√3/2]