设a,b互质,证明ax+by=ab-a-b没有非负整数解

题目

设a,b互质,证明ax+by=ab-a-b没有非负整数解

答案

原不定方程做变换：
x=b-1+(y+1)b/a …………（1）;
y=a-1+(x+1)a/b …………（2）;
因为 a,b互质 所以 a|y+1,b|x+1;
不妨设 y+1=am,x+1=bn,(m,n是整数),代入（1）
b(m+n-1)=0 → m+n=1 → m,n中必有一个≤0,由于方程是对称的,不妨设m≤0;
y=am-1≤-1(a,b互质,a≥1,b≥1)
所以不定方程ax+by=ab-a-b没有非负整数解